Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y =f'(x) như hình

Câu hỏi:

Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ như hình bên. Hàm số $y=f\left(x^2+4x\right)-x^2-4x$ có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng $\left(-5;1\right)$

A. 5

B. 4

C. 6

D. 3

Trả lời:

Đáp án A

Ta có:

$$\begin{gathered} y\text{'}=\left(2x+4\right)f\text{'}\left(x^2+4x\right)-2x-4 \\ =\left(2x+4\right)\left[f\text{'}\left(x^2+4x\right)-1\right] \\ y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{c}2x+4=0\\ f\text{'}\left(x^2+4x\right)-1=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}2x+4=0\\ f\text{'}\left(x^2+4x\right)=1\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}2x+4=0\\ x^2+4x=-4\\ x^2+4x=0\\ x^2+4x=t\in \left(1;5\right)\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=-2\in \left(-5;1\right)\\ x=0\in \left(-5;1\right)\\ x=-4\in \left(-5;1\right)\\ x=-2\pm \sqrt{4+t}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Xét $x_1=-2-\sqrt{4+t}$, với $1<t<5\Rightarrow -5<-2-\sqrt{4+t}<-2-\sqrt{5}<1\Rightarrow -5<x_1<1$

Xét $x_2=-2+\sqrt{4+t}$, với $1<t<5\Rightarrow -5<-2+\sqrt{4+t}<-2+\sqrt{5}<1\Rightarrow -5<x_2<1$

Do đó phương trình y’ = 0 có 5 nghiệm phân biệt thuộc (-5; 1) và các nghiệm này đều là nghiệm bội lẻ nên đạo hàm y’ đổi dấu qua chúng.

Vậy hàm số có 5 điểm cực trị trong khoảng (-5; 1)