Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) có đồ thị như hình dưới đây

Câu hỏi:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm f'(x) có đồ thị như hình dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số $g\left(x\right)=8f\left(x^3-3x+3\right)-\left(2x^6-12x^4+16x^3+18x^2-48x+1\right)$ là:

A. 5

B. 8

C. 7

D. 9

Trả lời:

Đáp án B

Ta có: $g\text{'}\left(x\right)=8\left(3x^2-3\right)f\text{'}\left(x^3-3x+3\right)-\left(12x^5-48x^3+48x^2+36x-48\right)$

$$\begin{gathered} g\text{'}\left(x\right)=24\left(x^2-1\right)f\text{'}\left(x^3-3x+3\right)-\frac{1}{2}\left(x^3-3x+3+1\right) \\ g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=\pm 1\\ f\text{'}\left(x^3-3x+3\right)=\frac{1}{2}\left(x^3-3x+3+1\right)(*)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đặt $t=x^3-3x+3$, phương trình (*) trở thành $f\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{2}\left(t+1\right)$, do đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(t\right)$ và $y=\frac{1}{2}\left(t+1\right)$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy (*) $\iff \left[\begin{array}{c}t=-1\\ t=1\\ t=5\\ t=t_0\in \left(1;5\right)\end{array}\right.$

+ Với $t=-1\Rightarrow x^3-3x+3=-1$, phương trình này có 1 nghiệm không nguyên

+ Với $t=1\Rightarrow x^3-3x+3=1\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=-2\end{array}\right.$, trong đó x = 1 là nghiệm bội 2.

+ Với $t=5\Rightarrow x^3-3x+3=5\iff \left[\begin{array}{c}x=2\\ x=-1\end{array}\right.$, trong đó x = - 1 là nghiệm bội 2

+ Với $t=t_0\in \left(1;5\right)\Rightarrow 1<t_0<5$ ta có phương trình $x^3-3x+3=t_0$

Xét hàm số $h\left(x\right)=x^3-3x+3$ ta có: $h\text{'}\left(x\right)=3x^2-3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=-1\end{array}\right.$

Từ BBT suy ra phương trình $x^3-3x+3=t_0$ có 3 nghiệm phân biệt

Suy ra phương trình $g\text{'}\left(x\right)=0$ có 8 nghiệm phân biệt và $g\text{'}\left(x\right)$ đổi dấu qua các nghiệm này ($x=\pm 1$ là nghiệm bội ba) nên hàm số g (x) có 8 điểm cực trị.