Cho hàm số y = f(x) = ax^4 + b^2.x^2 + 1 ( a > 0). Trong các khẳng định dưới

Câu hỏi:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^4+b^2{x}^2+1\left(a>0\right)$. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào là sai?

A. Đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi a, b

B. Đồ thị hàm số không có tâm đối xứng

C. Đồ thị hàm số luôn có duy nhất 1 điểm cực trị với mọi $a>0,b\in R$

D. Đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

Trả lời:

Đáp án C

Dễ thấy đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (0; 1) cố định nên A đúng.

Đồ thị hàm số không có tâm đối xứng nên B đúng.

Có 

$$\begin{gathered} y\text{'}=4a{x}^3+2b^{2}x=2x\left(4a{x}^2+b^2\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ 4a{x}^2+b^2=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Phương trình $4a{x}^2+b^2=0$ chỉ có thể vô nghiệm nếu $b\ne 0$ và có nghiệm duy nhất x = 0 nếu b = 0

Do đó phương trình y' = 0 chỉ có nghiệm duy nhất x = 0 và y’ đổi dấu qua nghiệm đó nên hàm số chỉ có duy nhất 1 điểm cực trị (cụ thể là điểm cực tiểu) nên C đúng.

D sai vì đồ thị hàm số đa thức bậc bốn trùng phương không có tâm đối xứng