Cho hàm số y = f(x) có đồ thị y = f'(x) như hình vẽ. Xét hàm số g(x) = f(x) - 1/3.x^3

Câu hỏi:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị $y=f\text{'}\left(x\right)$ như hình vẽ. Xét hàm số $g\left(x\right)=f\left(x\right)-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{3}{2}x+2018$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\underset{\left[-3;1\right]}{\min }g\left(x\right)=g(-1)$

B. $\underset{\left[-3;1\right]}{\min }g\left(x\right)=g\left(1\right)$

C. $\underset{\left[-3;1\right]}{\min }g\left(x\right)=g(-3)$

D. $\underset{\left[-3;1\right]}{\min }g\left(x\right)=\frac{g\left(-3\right)+g\left(1\right)}{2}$

Trả lời:

Đáp án A

Ta có:

$$\begin{gathered} g\left(x\right)=f\left(x\right)-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{3}{2}x+2018 \\ \Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)-x^2-\frac{3}{2}x+\frac{3}{2} \end{gathered}$$

Căn cứ vào đồ thị $y=f\text{'}\left(x\right)$ ta có: $\left\{\begin{array}{c}f\text{'}\left(x\right)=-2\\ f\text{'}\left(1\right)=1\\ f\text{'}\left(-3\right)=3\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}g\text{'}\left(-1\right)=0\\ g\text{'}\left(1\right)=0\\ g\text{'}\left(-3\right)=0\end{array}\right.$

Ngoài ra, vẽ đồ thị (P) của hàm số $y=x^2+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}$ trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ bên (đường nét đứt) ta thấy (P) đi qua các điểm $\left(-3;3\right),\left(-1;-2\right),\left(1;1\right)$ với đỉnh $I\left(-\frac{3}{4};-\frac{33}{16}\right)$. Rõ ràng:

- Trên khoảng (-1; 1) thì $f\text{'}\left(x\right)>x^2+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}$, nên $g\text{'}\left(x\right)>0\forall x\in \left(-1;1\right)$

- Trên khoảng (-3; -1) thì $f\text{'}\left(x\right)<x^2+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}$, nên $g\text{'}\left(x\right)<0\forall x\in \left(-3;-1\right)$

Từ những nhận định trên, ta có bảng biến thiên của hàm số $y=g\text{'}\left(x\right)$ trên $\left[-3;1\right]$ như sau:

Vậy $\underset{\left[-3;1\right]}{\min }g\left(x\right)=g(-1)$