Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R, có đạo hàm f'(x) = x.(x - 1)^2.(x - 2). Gọi S là

Câu hỏi:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$, có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=x{\left(x-1\right)}^2\left(x-2\right)$. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số $y=f\left(\frac{x+2}{x+m}\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(10;+\infty \right)$.Tính tổng các phần tử của S

A. -9

B. -3

C. -5

D. -7

Trả lời:

Đáp án A

Đặt $g\left(x\right)=f\left(\frac{x+2}{x+m}\right)$,

$$\begin{gathered} {\left[g\left(x\right)\right]}^{\text{'}}={\left(\frac{x+2}{x+m}\right)}^{\text{'}}.f^{\text{'}}\left(\frac{x+2}{x+m}\right) \\ =\frac{m-2}{{\left(x+m\right)}^2}.\frac{x+2}{x+m}.{\left(\frac{x+2}{x+m}-1\right)}^2.\left(\frac{x+2}{x+m}-2\right) \\ =\frac{m-2}{{\left(x+m\right)}^2}.\frac{x+2}{x+m}.{\left(\frac{2-m}{x+m}\right)}^2.\left(\frac{2-x-2m}{x+m}\right) \\ =\frac{x+2}{{\left(x+m\right)}^4}.{\left(\frac{2-m}{x+m}\right)}^2.\left(2-m\right)\left(x+2m-2\right) \end{gathered}$$

Hàm số $y=g\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(10;+\infty \right)\iff \left\{\begin{array}{l}m\ge -10\\ g^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left(10;+\infty \right)\end{array}\right.$

Xét $g^{\text{'}}\left(x\right)$ trên $\left(10;+\infty \right)$

TH 1: $m=2\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=0,\forall x\ne -m$ loại.

TH 2: $m>2, g^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\iff x\le 2-2m$ loại.

TH 3: $m<2, g^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\iff x\ge 2-2m$ . Hàm số $y=g\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(10;+\infty \right)$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}m\ge -10\\ 2-2m\le 10\end{array}\right.\iff m\ge -4$

Vậy các giá trị m cần tìm là $-4\le m<2$

Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $S=\left\{-4;-3;-2;-1;0;1\right\}$

Vậy tổng các phần tử của S là $\left(-4\right)+\left(-3\right)+\left(-2\right)+\left(-1\right)+0+1=-9$