Có bao nhiêu số nguyên m < hoặc = 100 để hàm số y = 6sinx - 8cosx + 5mx

Câu hỏi:

Có bao nhiêu số nguyên $m\le 100$ để hàm số $y=6\sin x-8\cos x+5mx$ đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$?

A. 100 số

B. 99 số

C. 98 số

D. Đáp án khác

Trả lời:

Đáp án B

Xét hàm số hàm số $y=6\sin x-8\cos x+5mx$

Tập xác định: $\mathrm{ℝ}$

Ta có $y^{\text{'}}=6\cos x+8\sin x+5m$

Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathrm{ℝ}\iff y^{\text{'}}\ge 0, \forall x\in ℝ\iff 5m\ge -6\cos x-8\sin x, \forall x\in ℝ\left(1\right)$

Cách 1:

Ta lại có:

$$\begin{gathered} {\left(-6\cos x-8\sin x\right)}^2\le \left({\left(-6\right)}^2+{\left(-8\right)}^2\right)\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)=100, \forall x\in ℝ \\ \iff -10\le -6\cos x-8\sin x\le 10, \forall x\in ℝ \end{gathered}$$

Do đó $\left(1\right)\iff 5m\ge 10\iff m\ge 2$

Kết hợp với điều kiện $m\le 100$ ta được $2\le m\le 100$

Vì m là số nguyên nên có 99 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

Cách 2:

Ta có: $-6\cos x-8\sin x=-10\left[\sin \left(x+\alpha \right)\right]$

Mà $-1\le \sin \left(x+\alpha \right)\le 1, \forall x\in ℝ$

Suy ra: $-10\le -10\left[\sin \left(x+\alpha \right)\right]\le 10, \forall x\in ℝ$

Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathrm{ℝ}\iff y^{\text{'}}\ge 0, \forall x\in ℝ\iff 5m\ge \underset{ℝ}{\max }\left(-6\cos x-8\sin x\right)$

$\iff 5m\ge 10\iff m\ge 2$

Kết hợp với điều kiện $m\le 100$ ta được $2\le m\le 100$

Vậy có 99 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.