Cho hàm số y = x^3 - (m + 1)x^2 - (2m^2 - 3m + 2)x + 2m(2m - 1). Tìm tất cả các giá trị
Câu hỏi:
Cho hàm số y = x3 − (m + 1)x2 − (2m2 − 3m + 2)x + 2m(2m − 1). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên [2;+∞).
Trả lời:
Ta có y' = 3x2 − 2(m + 1)x − (2m2 − 3m + 2)
Xét phương trình y' = 0 có
Δ' = (m + 1)2 + 3(2m2 − 3m + 2) = 7(m2 – m + 1) > 0, ∀m ∈ ℝ.
Suy ra phương trình y' = 0 luôn có hai nghiệm x1 < x2 với mọi m .
Để hàm số đồng biến trên [2;+∞) ⇔ phương trình y' = 0 có hai nghiệm x1 < x2 ≤ 2
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_1} - 2} \right) + \left( {{x_2} - 2} \right) < 0\\\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \ge 0\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} < 4\\{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 \ge 0\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3} < 4\\\frac{{ - \left( {2{m^2} - 3m + 2} \right)}}{3} - 2.\frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3} + 4 \ge 0\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m < 5\\ - 2 \le m \le \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le m \le \frac{3}{2}\).
