Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thoả mãn f(x) + f(-x) = căn 2 + 2cos2x

Câu hỏi:

Cho hàm số f (x) liên tục trên ℝ và thoả mãn

$f (x) + f (- x) = \sqrt{2 + 2 \cos 2 x}, \forall x \in ℝ$ . Tính $I = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x$ .

Trả lời:

Ta có: $f (x) + f (- x) = \sqrt{2 + 2 \cos 2 x}$

$= \sqrt{2 + 2 (2 \cos^{2} x - 1)} = 2 \sqrt{\cos^{2} x} = 2 |\cos x|$

Đặt t = −x Þ dt = − dx Û dx = − dt

Khi đó:

$I = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x = - \int_{\frac{3 π}{2}}^{- \frac{3 π}{2}} f (- t) d t = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (- t) d t = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (- x) d x$

$\Rightarrow 2 I = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x + \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (- x) d x = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} [f (x) + f (- x)] d x$

$= \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} 2 |\cos x| d x = - 2 \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos x d x$

$= {- 2 \sin x|}_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} = - 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \sin (- \frac{3 π}{2})$

= (−2).(−1) + 2.1 = 4

Vậy $I = \int_{- \frac{3 π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} f (x) d x = 2$ .

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Đa thức P (x) = 32x⁵ − 80x⁴ + 80x³ − 40x² + 10x − 1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây?

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho đoạn thẳng AB. Vị trí của điểm M thỏa mãn: $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} = \vec{0}$ được xác định bởi:

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết $2 \vec{M A} - 3 \vec{M B} = \vec{0}$ .

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$ .

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho hàm số f (x) liên tục trên ℝ và $\int_{0}^{1} f (2 x) d x = 8$ . Tính $I = \int_{0}^{\sqrt{2}} x . f (x^{2}) d x$ .

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho f (x) liên tục trên ℝ và f (2) = 16, $\int_{0}^{1} f (2 x) d x = 2$ . Tích phân $\int_{0}^{2} x f^{'} (x) d x$ bằng:

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABD. Cạnh bên SD tạo với đáy một góc 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng A B C D trùng với trọng tâm G của tam giác ABD. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng một góc 60°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thoả mãn f(x) + f(-x) = căn 2 + 2cos2x

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: