Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng A B C D trùng với trọng tâm G của tam giác ABD. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng một góc 60°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

Gọi O là tâm của hình vuông và N là trung điểm của AB.

Khi đó G là giao điểm của AC và DN.

Tam giác SGD vuông tại G nên  $\widehat{SDG}$ nhọn.

Do SG ^ (ABCD) nên  $\left(\widehat{SD;\left(ABCD\right)}\right)=\left(\widehat{SD;DG}\right)=\widehat{SDG}=60°$

Tam giác NAD vuông tại A nên  $DN=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Suy ra  $GD=\frac{a\sqrt{5}}{3}$

Do đó  $SG=GD.\tan \widehat{SDG}=\frac{a\sqrt{15}}{3}$

Ta có CD // AB mà CD Ì (SCD) nên AB // (SCD).

Ta có:  $AC=\frac{3}{2}GC$

Suy ra  $d\left(AB;SC\right)=d\left(AB;\left(SCD\right)\right)=d\left(A;\left(SCD\right)\right)=\frac{3}{2}d\left(G;\left(SCD\right)\right)$

Từ G kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại M thì CD ^ (SGM)

Suy ra (SCD) ^ (SGM).

Hai mặt phẳng (SCD) và (SGM) cắt nhau theo giao tuyến SM.

Từ G kẻ GH ^ SM, H Î SM thì GH ^ (SCD).

Do đó d(G; (SCD)) = GH

Ta có:  $GM=\frac{2a}{3}$ và tam giác SGM vuông tại G có đường cao GH nên

 $GH=\frac{SG.GM}{\sqrt{S{G}^2+G{M}^2}}=\frac{\frac{a\sqrt{15}}{3}.\frac{2a}{3}}{\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{15}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2a}{3}\right)}^2}}=\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{15}{19}}$.

Vậy  $d\left(AB;SC\right)=\frac{3}{2}.\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{15}{19}}=a\sqrt{\frac{15}{19}}$.