Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 1, tam giác SAB đều và nằm trong mặt
Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 1, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Trả lời:
Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó SH ⊥ (SAB).
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, dựng đường thẳng d đi qua O và vuông góc với (ABC).
Khi đó d // SH
Dựng đường trung trực của (SAB), cắt d tại I.
Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.
Gọi K là giao điểm của SH và mặt phẳng trung trực của (SAB).
Do đó tứ giác IKHO là hình chữ nhật, K là trọng tâm tam giác SAB.
Khi đó: R = SI = IA = IB = IC là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.
• Tam giác ABC đều có cạnh là 1 nên \(CH = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow OC = \frac{2}{3}CH = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
• Tam giác SAB đều có cạnh là 1 nên \(SH = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow HK = \frac{1}{3}SH = \frac{{\sqrt 3 }}{6} = IO\)
Xét tam giác IOC vuông tại O ta có:
\(IC = \sqrt {O{I^2} + O{C^2}} = \sqrt {\frac{3}{{36}} + \frac{1}{3}} = \sqrt {\frac{5}{{12}}} = \frac{{\sqrt {15} }}{6}\).
Vậy \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{3}} \right)^3} = \frac{{5\pi \sqrt {15} }}{{54}}\).
