Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a căn bậc hai 2
Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD=a√2, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC. Giả sử I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích tứ diện ANIB.
Trả lời:

Gọi O là tâm của đáy ABCD.
Trong tam giác SAC, ta có NO là đường trung bình nên NO // SA.
Tức là NO ⊥ (ABCD) và NO=a2.
Ta có VANIB=VNAIB=13.SAIB.NO=36.SAIB(1)
Ta tính diện tích tam giác AIB:
Xét hình chữ nhật ABCD. Do MA = MD
⇒MA=12BD⇒AI=12IC
⇒AI=13AC⇒AI2=AC29=2a2+a29=a23
Lại có BI=23BM⇒BI2=49BM2=49(a2+a22)=2a23
Do đó AI2 + BI2 = a2 = AB2, nên AIB là tam giác vuông đỉnh I.
Vậy SAIB=12.IA.IB=12.a√33.a√63=a2√26(2)
Thay (2) vào (1) ta có: VANIB=a3√236(dvtt)