Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành, mặt phẳng (alpha) đi qua AB cắt
Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành, mặt phẳng (α) đi qua AB cắt cạnh SC, SD lần lượt tại M, N. Tính tỉ số SNSD để (α) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Trả lời:
Ta có (α) ∩ (SCD) = NM ⇒ NM // CD.
Do đó (α) là (ABMN).
Mặt phẳng (α) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau là:
VS.ABMN=vABCDNM
⇒ VS.ABMN=12VS.ABCD (1)
Ta có: VS.ABC=VS.ACD=12VS.ABCD
Đặt SNSD=x với (0 < x < 1).
Khi đó theo định lí Ta – let ta có: SNSD=SMSC=x
Mặt khác VS.ABMVS.ABC=SASA.SBSB.SMSC=x
⇒ VS.ABM=x2.VS.ABCD
VS.AMNVS.ACD=SASA.SMSC.SNSD=x2 ⇒ VS.AMN=x22.VS.ABCD
⇒ VS.ABMN=VS.ABM+VS.AMN=(x2+x22).VS.ABCD (2)
Từ (1) và (2) suy ra x2+x22=12 ⇔ x2 + x – 1 = 0
⇔ [x=−1−√52x=−1+√52
Đối chiếu điều kiện của x ta được SNSD=−1+√52.
