Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính (vecto AB + vecto AC) . (vecto BC + vecto BD

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính \[\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BA} } \right).\]

A. \[P = 2\sqrt 2 a.\]

B. P = 2a².

C. P = a².

D. P = ‒2a².

Đáp án đúng là: D

Ta có:

\(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BA} = \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} } \right) + \overrightarrow {BD} \)

\( = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {BD} \) và \(BD = a\sqrt 2 \)

Khi đó:

\(P = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot 2\overrightarrow {BD} \)

\( = 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD} + 2\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = - 2\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BD} + 0\)

\( = - 2 \cdot BA \cdot BD{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BD} } \right)\)

\( = 2 \cdot a \cdot a\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = - 2{a^2}.\)