Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối
Câu hỏi:
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng với O qua AD và BC.
a) Chứng minh rằng các tứ giác AODE,BOCF là hình vuông.
b) Nối EC cắt DF tại I. Chứng minh rằng OI ⊥ CD.
c) Biết diện tích hình lục giác ABFCDE = 6 .Tính độ dài các cạnh của hình vuông ABCD.
d) Lấy K là 1 điểm bất kì trên BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác AIK. Chứng minh G thuộc 1 đường thẳng cố định khi K di chuyển trên BC.
Trả lời:
a) Gọi giao điểm của AD và EO là T
Giao điểm của BC và OF là H
Xét tứ giác EAOD có
\(\left\{ \begin{array}{l}AT = TD\\ET = TO\end{array} \right.\) ⇒ EAOD là hình bình hành
Mà AD⊥EO nên tứ giác EAOD là hình thoi.
Hình thoi EAOD có \(\widehat {AOD} = 90^\circ \)nên là hình vuông.
Vậy EAOD là hình vuông theo dấu hiệu nhận biết hình thoi có 1 góc vuông.
Chứng minh tương tự với tứ giác OBFC.
b) Xét 2 tam giác ECF và FDE có:
\(\widehat {CFE} = \widehat {DEF} = 45^\circ \)
EF chung
FC = DE
Nên: ∆ECF = ∆FDE (c.g.c)
Suy ra: \(\widehat {FEC} = \widehat {EFD}\)
Vậy tam giác EFI cân
Mà O là trung điểm của EF ⇒ OI ⊥ EF
c) Ta có:
ΔAED = ΔABO = ΔBCO = ΔCOD = ΔDOA = ΔBFC
SΔAED + SΔABO + SΔBCO + SΔCOD + SΔDOA + SΔBFC = SABCDFE = 6
Suy ra: SΔABO = SΔBCO = SΔCOD = SΔDOA = 1
SABCD = SΔABO + SΔBCO + SΔCOD + SΔDOA = 4
AB = BC = CD = AD = 2
d) Gọi M là giao điểm của IO với AB, N là giao điểm của IM cới AK, ta có:
IO ⊥ FE ⇒ IO ⊥ AB
⇒ OM ⊥ AB, mà O là trung điểm của của HT nên M là trung điểm của AB.
Xét tam giác ABK có:
MA = MB(cmt)
MN // BK (vì MO//CD)
Do đó NA = NK là trung điểm của AK⇒ IN là đường trung tuyến của ΔAIK.
Mà G là trọng tậm tam giác nên G ∈ IN ⇒ G ∈ IM với IM cố định (I,M cố định).
Vậy điểm G luôn nằm trên đường thẳng cố định IM.
