Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia tiếp
Câu hỏi:
Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia tiếp tuyến của nửa đường tròn và thuộc cùng 1 nửa mặt phẳng có chứa nửa đường tròn. Qua M thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng AC. BD = R2.
Trả lời:
Ta có: \[{\widehat O_1} = {\widehat O_2}\] (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
và \[{\widehat O_3} = {\widehat O_4}\] (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\[ \Rightarrow \widehat {COD} = {\widehat O_2} + {\widehat O_3} = \frac{1}{2}\left( {{{\widehat O}_1} + {{\widehat O}_2} + {{\widehat O}_3} + {{\widehat O}_4}} \right) = 90^\circ \]
Þ ΔCOD vuông tại O, có đường cao OM
Do CA và CM là hai tiếp tuyến cắt nhau nên CA = CM
Do DM và DB là hai tiếp tuyến cắt nhau nên DM = DB
Áp dụng hệ thức lượng ta có:
OM2 = CM. MD
Þ R2 = CA. DB (đpcm)
Vậy AC. BD = R2.
