Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ cách tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến
Câu hỏi:
Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ cách tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE. Gọi H là trung điểm DE.
a) Chứng minh: A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh: HA là phân giác của BHC.
c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB2 = AI . AH.
d) BH cắt (O) ở K. Chứng minh: AE // CK.
Trả lời:
a) Vì AB,AC là tiếp tuyến của (O), H là trung điểm DE
⇒ AB ⊥ OB, AC ⊥ OC, OH ⊥ DE ⇒ OH ⊥ AH
⇒ A, B, H, O, C thuộc đường tròn đường kính AO.
b) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O)
⇒ AB = AC
Mà A, B, H, O, C thuộc đường tròn đường kính AO
⇒ A nằm chính giữa cung BC
⇒ HA là phân giác \(\widehat {BHC}\)
c) Vì AB là tiếp tuyến của (O)
⇒ \(\widehat {ABI} = \widehat {ABC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC} = \widehat {BOA} = \widehat {BHA}\)
Xét ΔABI và ΔAHB có:
Chung \(\widehat A\)
\(\widehat {ABI} = \widehat {BHA}\)
⇒ ΔABI ∽ ΔAHB (g.g)
⇒ AB2 = AI.AH
d) Vì AB là tiếp tuyến của (O)
⇒ \(\widehat {IHB} = \widehat {AHB} = \widehat {ABC}\) (câu c)
⇒ HI // CK
⇒ AE // CK.
