X

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE. Gọi H và K lần lượt là chân các


Câu hỏi:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm E đến các đường thẳng AB và BC.

1) Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh: BH.BA = BK.BC.

3) Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB và I là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh ba điểm H, I, K là ba điểm thẳng hàng.

Trả lời:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE. Gọi H và K lần lượt là chân các (ảnh 1)

1) Ta có: \(\widehat {BHE} = \widehat {BKE} = 90^\circ \)(vì EH vuông góc AB, EK vuông góc BC)

Xét tứ giác BHEK có: \(\widehat {BHE} + \widehat {BKE} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Nên BHEK là tứ giác nội tiếp

2) Ta có: \(\widehat {BHE} + \widehat {EBH} = 90^\circ \)(do tam giác BHE vuông tại H)

\(\widehat {BAE} + \widehat {EBH} = 90^\circ \)(do tam giác ABE vuông tại E)

Nên: \(\widehat {BHE} = \widehat {BAE}\)

\(\widehat {BHE} = \widehat {BKH}\)

Suy ra: \(\widehat {BAE} = \widehat {BKH}\)

Xét tam giác BHK và tam giác BCA có:

\(\widehat B\)chung

\(\widehat {BAE} = \widehat {BKH}\)

∆BHK ∆BCA (g.g)

\(\frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{BK}}{{BA}}\)

BH.BA = BK.BC

3) Gọi I’ là giao điểm của HK và EF

Xét tứ giác BFEC có: \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \)

Nên BFEC là tứ giác nội tiếp

Suy ra: \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{F_1}}\](2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

Ta có: EH // CF (cùng vuông góc AB)

Nên: \[\widehat {{E_1}} = \widehat {{F_1}}\](2 góc so le trong)

Suy ra: \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{E_1}}\] (1)

Theo câu a tứ giác BHEK nội tiếp nên \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{H_1}}\] (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EK) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \[\widehat {{H_1}} = \widehat {{E_1}}\]

Suy ra: I'HE cân tại I' hay I'H = I'E (3)

Lại có: \[\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = 90^\circ \]

\[\widehat {{F_2}} + \widehat {{E_1}} = 90^\circ \] (do tam giác HEF vuông tại H)

Nên: \[\widehat {{H_2}} = \widehat {{F_2}}\]hay tam giác I'HF cân tại I'

Suy ra: I'H = I'F (4)

Từ (3) và (4) suy ra: I'E = I'F hay I' là trung điểm EF

Suy ra: I' ≡ I nên I, H, K thẳng hàng.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Trong mặt phẳng cho 15 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số tam giác có đỉnh là 3 trong số 15 điểm đã cho là?

Xem lời giải »


Câu 2:

Giải phương trình: sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0.

Xem lời giải »


Câu 3:

Cho hai tập hợp X = (0; 3] và Y = (a; 4). Tìm tất cả các giá trị của a ≤ 4 để X ∩ Y ≠ .

Xem lời giải »


Câu 4:

Làm theo mẫu: \(\frac{{143}}{{10}} = 14;\frac{3}{{10}} = 0,3\).

Yêu cầu: \(\frac{{126}}{{100}} = ...;\frac{{26}}{{100}} = ...\)

\(\frac{{1246}}{{10}} = ...;\frac{6}{{10}} = ...\)

Xem lời giải »


Câu 5:

Cho tam giác ABC có AB = a, AC = 2a. Gọi D là trung điểm AC, M là điểm thỏa mãn \[\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \]. Chứng minh: BD vuông góc AM.

Xem lời giải »


Câu 6:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có D và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BC. Vẽ EF vuông góc với AB tại F.

a) Chứng minh rằng DE //AB và tứ giác ADEF là hình chữ nhật.

b) Trên tia đối của tia DE lấy điểm G sao cho DG = DE. Chứng minh tứ giác AECG là hình thoi.

c) Gọi O là giao điểm của AE và DF. Chứng minh rằng ba điểm B, O, G thẳng hàng.

d) Vẽ EH vuông góc với AG tại H. Chứng minh rằng tam giác DHF vuông.

Xem lời giải »


Câu 7:

Cho tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat C = 30^\circ \). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC.

a) Tính \(\widehat {NMC}\).

b) Gọi E là điểm đối xứng với M qua N. Chứng minh tứ giác AECM là hình thoi.

c)Lấy D là điểm đối xứng với E qua BC. Tứ giác ACDB là hình gì? Tại sao?

d) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AECM là hình vuông?

Xem lời giải »


Câu 8:

Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC. Tứ giác ADME là hình gì?

Xem lời giải »