Cho tam giác ABC có số đo ba góc là A, B, C thỏa mãn điều kiện tanA2 + tan B/2 + tan C/2 = căn bậc hai của 3. Tam giác ABC là tam giác gì?

Câu hỏi:

Trả lời:

Lời giải

Ta có: $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}$

$\Rightarrow \tan \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2}} \right) = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}} \right)$

$\Leftrightarrow \frac{{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}}{{1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}}} = \cot g\frac{C}{2}$

$\Leftrightarrow \left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}} \right)\tan \frac{C}{2} = 1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}$

$\Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} = 1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}$

 $\Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1$

Áp dụng BĐT (a + b + c)² ³ 3(ab + bc + ca) đối với $\tan \frac{A}{2},\;\tan \frac{B}{2},\;\tan \frac{C}{2}$, ta được:

${\left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right)^2} \ge 3\left( {\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2}} \right) = 3$

$\Rightarrow \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \ge \sqrt 3$

Mà theo đề ra ta có $\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} = \sqrt 3$ nên dấu bằng xảy ra khi $\tan \frac{A}{2} = \tan \frac{B}{2} = \tan \frac{C}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow A = B = C = \frac{\pi }{3}$.

Vậy tam giác ABC đều.