Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB và HE
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB và HE vuông góc với AC (D trên AB, E trên AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE.
a) Chứng minh AH = DE.
b) Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và HC. Chứng minh tứ giác DEQP là hình thang vuông.
c) Chứng minh O là trực tâm của tam giác ABQ.
d) Chứng minh SABC = 2SDEQP.
Trả lời:
a) Xét tứ giác ADHE có 3 góc vuông (ˆA,ˆD,ˆE)
⇒ ADHE là hình chữ nhật mà AH, DE là 2 đường chéo
⇒ AH = DE (đpcm)
b) HD ⊥ AB và AC ⊥ AB ⇒ HD // AC
⇒ ^PHD=^HCA(đồng vị)
ΔDBH vuông tại D có DP là trung tuyến ứng với cạnh huyền
⇒ DP = PH ⇒ ΔDPH cân tại P
⇒ ^PHD=^PDH
ADHE là hình chữ nhật ⇒ ^ADE=^AHE
mà ^HCA=^AHE (cùng phụ với ^HAE)
⇒ ^ADE=^HCA=^PHD=^PDH
Ta có: ^ADE+^EDH=90∘
⇒ ^PDH+^EDH=90∘
⇒ ^PDE=90∘ ⇒ DP ⊥ DE
Chứng minh tương tự ta có EQ ⊥ DE
⇒ Tứ giác DEQP là hình thang vuông tại D và E (đpcm)
c) Xét ΔHAC có O là trung điểm của HA, Q là trung điểm của HC
⇒ OQ là đường trung bình ⇒ OQ // AC ⇒ OQ ⊥ AB
Xét ΔABQ có QO, AH là 2 đường cao cắt nhau tại O
⇒ O là trực tâm ΔABQ (đpcm)
d) SABC = 12.AH.BC=PQ.AH(1)
SDEQP = 12(DP+EQ).DE=12.(DP+EQ).AH=12.(HP+HQ).AH=12.PQ.AH (2)
Từ (1) và (2) suy ra: SABC = 2SDEQP (đpcm).
