Cho x, y không âm thỏa mãn: x^2 + y^2 = 2. Tìm GTNN, GTLN của A = x^2 + y^2 + 1/xy + 1

Cho x, y không âm thỏa mãn: x² + y² = 2. Tìm GTNN, GTLN của

$A = \frac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{xy + 1}}$.

Lời giải

Áp dụng BĐT Cauchy, ta được:

${x^2} + {y^2} \ge 2\sqrt {{x^2}{y^2}} = 2xy \Rightarrow 2xy \le 2 \Leftrightarrow xy \le 1$

Khi đó:  $A = \frac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{xy + 1}} \ge \frac{{2 + 1}}{{1 + 1}} = \frac{3}{2}$. Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1.

Vậy GTNN của A là $\frac{3}{2}$ khi x = y = 1.

Lại có $\left\{ \begin{array}{l}x;\;y \ge 0\\{x^2} + {y^2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow 0 \le x;\;y \le \sqrt 2$

$\Rightarrow {x^2}\left( {x - \sqrt 2 } \right) \le 0 \Rightarrow {x^3} \le {x^2}\sqrt 2$

Tương tự: ${y^3} \le {y^2}\sqrt 2$.

Mặt khác: x; y ³ 0 Þ xy + 1 ³ 1

$\Rightarrow A \le \frac{{{a^2}\sqrt 2 + {b^2}\sqrt 2 + 1}}{1} = 1 + 2\sqrt 2$.

Vậy GTLN của A là $1 + 2\sqrt 2$ khi $\left( {a;\;b} \right) = \left( {0;\;\sqrt 2 } \right)$ và hoán vị.