Tam giác ABC vuông tại A, có AB = c, AC = b. Gọi ℓa là độ dài đoạn phân giác trong góc BAC. Tính ℓa theo b và c.

Câu hỏi:

Trả lời:

Lời giải

Ta có: $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{b^2} + {c^2}}$

Do AD là phân giác trong của $\widehat {BAC}$

$\Rightarrow BD = \frac{{AB}}{{AC}}\,.\,DC = \frac{c}{b}\,.\,DC = \frac{c}{{b + c}}\,.\,BC = \frac{{c\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{b + c}}$

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2AB\,.\,AD\,.\,\cos \widehat {ABD}$

$\Leftrightarrow \frac{{{c^2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} = {c^2} + A{D^2} - 2c\,.\,AD\,.\,\cos 45^\circ$

$\Rightarrow A{D^2} - c\sqrt 2 \,.\,AD + \left( {{c^2} - \frac{{{c^2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow A{D^2} - c\sqrt 2 \,.\,AD + \frac{{2b{c^3}}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} = 0$

$\Rightarrow AD = \frac{{\sqrt 2 bc}}{{b + c}}$ hay ${\ell _a} = \frac{{\sqrt 2 bc}}{{b + c}}$.