Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất

Câu hỏi:

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện $x^2+y^2+xy+4=4y+3x$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=3\left(x^3-y^3\right)+20x^2+2xy+5y^2+39x$

A. 100

B. 66

C. 110

D. 90

Trả lời:

Lời giải:

Theo giả thiết:

$x^2+y^2+xy+4=4y+3x$

$\iff y^2+\left(x-4\right)y+x^2-3x+4=0$

Ta xem đây là phương trình bậc hai ẩn y và khi đó điều kiện có nghiệm là:

$\Delta ={\left(x-4\right)}^2-4\left(x^2-3x+4\right)\ge 0$

$\iff x^2-8x+16-4x^2+12x-16\ge 0$

$\iff -3x^2+4x\ge 0\iff 0\le x\le \frac{4}{3}$

Từ giả thiết suy ra $x^2+y^2+xy=4y+3x-4$. Khi đó:

$P=3\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+20x^2+2xy+5y^2+39x$

$P=3\left(x-y\right)\left(3x+4y-4\right)+20x^2+2xy+5y^2+39x$

$P=3\left(3x^2+xy-4y^2-4x+4y\right)+20x^2+2xy+5y^2+39x$

$P=29x^2+5xy-7y^2+27x+12y$

$P=\left(5x^2+5xy+5y^2\right)+24x^2-12y^2+27x+12y$

$P=5\left(x^2+xy+y^2\right)+24x^2-12y^2+27x+12y$

$P=5\left(3x+4y-4\right)+24x^2-12y^2+27x+12y$

$P=24x^2-12y^2+42x+32y-20$

$P=2\left(12x^2-6y^2+21x+16y\right)-20$

Đặt $g\left(y\right)=-6y^2+16y+21x+12x^2$ (ta xem x là tham số)

Khi đó  $g\left(y\right)\le g\left(\frac{4}{3}\right)=12x^2+21x+\frac{32}{3}$

Do $x\in \left[0;\frac{4}{3}\right]$ nên $12x^2+21x+\frac{32}{3}\le 60$

Suy ra $g\left(y\right)\le 60$. Vậy giá trị lớn nhất của P là 100 khi  $x=y=\frac{4}{3}$

Đáp án cần chọn là: A