Cho x, y là hai số thực tùy ý, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P = x^2 + 5y^2
Câu hỏi:
Cho x, y là hai số thực tùy ý, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P = x2 + 5y2 + 4xy + 6x + 16y + 32.
Trả lời:
P = x2 + 5y2 + 4xy + 6x + 16y + 32
⇔ P = x2 + (4xy + 6x) + 5y2 + 16y + 32
⇔ P = x2 + 2x(2y + 3) + (2y + 3)2 – (2y + 3)2 + 5y2 + 16y + 32
⇔ P = [x + (2y + 3)]2 – 4y2 – 12y – 9 + 5y2 + 16y + 32
⇔ P = (x + 2y + 3)2 + y2 + 4y + 23
⇔ P = (x + 2y + 3)2 + (y + 2)2 + 19
Vì (x + 2y + 3)2 ≥ 0 với mọi x, y ∈ R
(y + 2)2 ≥ 0 với mọi y ∈ R
⇒ P = (x + 2y + 3)2 + (y + 2)2 + 19 ≥ 19 với mọi x, y ∈ R
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 2y + 3 = 0 và y + 2 =0
Suy ra, x = 1 và y = –2
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 tại x = 1 và y = –2.
