Cho x, y thỏa mãn x - 2y + 2 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = căn bậc hai ((x - 3)^2
Câu hỏi:
Cho x, y thỏa mãn x – 2y + 2 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
T=√(x−3)2+(y−5)2+√(x−5)2+(y−7)2.
Trả lời:
Gọi M(x; y) thỏa mãn x − 2y + 2 = 0 ⇒ M thuộc đường thẳng x − 2y + 2 = 0 (d)
Gọi A(3; 5); B(5; 7)
Þ T = MA + MB
Ta cần tìm điểm M ∈ d sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Dễ thấy A, B nằm cùng phía so với đường thẳng d.
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d ta có: MA=MA′
Þ MA + MB = MA′ + MB ≥ A′B
Þ MA + MB nhỏ nhất Û M, A′, B thẳng hàng hay M = A′B ∩ d
Đường thẳng AA′ đi qua A và vuông góc với d nên có phương trình :
2x + y – 11 = 0 (d′)
Gọi H = d ∩ d’
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình
{2x+y−11=0x−2y+2=0⇒{x=4y=3
Þ H(4; 3) là trung điểm của AA’
xA′ = 2xH − xA = 5
yA′ = 2yH − yH = 1
Þ A’(5; 1)
Phương trình đường thẳng A′B là: x = 5
Þ MA + MB nhỏ nhất ⇔ M = A′B ∩ d
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình
{x−2y+2=0x=5⇒{x=5y=72
⇒M(5;72)
Þ Tmin = 6
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 6.