Cho x, y, z, t thuộc ℕ*. Chứng minh rằng M = x / (x + y + z) + y / (x + y + t)

Cho x, y, z, t Î ℕ^*. Chứng minh rằng:

$M = \frac{x}{{x + y + z}} + \frac{y}{{x + y + t}} + \frac{z}{{y + z + t}} + \frac{t}{{x + z + t}}$ không phải số tự nhiên.

$M = \frac{x}{{x + y + z}} + \frac{y}{{x + y + t}} + \frac{z}{{y + z + t}} + \frac{t}{{x + z + t}}$

Ta có:

• $\frac{x}{{x + y + z}} > \frac{x}{{x + y + z + t}}$

• $\frac{y}{{x + y + t}} > \frac{y}{{x + y + z + t}}$

• $\frac{z}{{y + z + t}} > \frac{z}{{x + y + z + t}}$

• $\frac{t}{{x + z + t}} > \frac{t}{{x + y + z + t}}$

$\Rightarrow M > \frac{x}{{x + y + z + t}} + \frac{y}{{x + y + z + t}} + \frac{z}{{x + y + z + t}} + \frac{t}{{x + y + z + t}}$

Þ M > 1

Lại có:

• $\frac{x}{{x + y + z}} < \frac{{x + t}}{{x + y + z + t}}$

• $\frac{y}{{x + y + t}} < \frac{{y + z}}{{x + y + z + t}}$

• $\frac{z}{{y + z + t}} < \frac{{z + x}}{{x + y + z + t}}$

• $\frac{t}{{x + z + t}} < \frac{{t + y}}{{x + y + z + t}}$

$\Rightarrow M < \frac{{x + t}}{{x + y + z + t}} + \frac{{y + z}}{{x + y + z + t}} + \frac{{z + x}}{{x + y + z + t}} + \frac{{t + y}}{{x + y + z + t}}$

$\Rightarrow M < \frac{{2(x + y + z + t)}}{{x + y + z + t}}$

Þ M < 2

Do đó, 1 < M < 2

Vậy M không phải là số tự nhiên.