Cho x, y, z, t thuộc ℕ*. Chứng minh rằng M = x / (x + y + z) + y / (x + y + t)
Câu hỏi:
Cho x, y, z, t Î ℕ*. Chứng minh rằng:
\[M = \frac{x}{{x + y + z}} + \frac{y}{{x + y + t}} + \frac{z}{{y + z + t}} + \frac{t}{{x + z + t}}\] không phải số tự nhiên.
Trả lời:
\[M = \frac{x}{{x + y + z}} + \frac{y}{{x + y + t}} + \frac{z}{{y + z + t}} + \frac{t}{{x + z + t}}\]
Ta có:
• \[\frac{x}{{x + y + z}} > \frac{x}{{x + y + z + t}}\]
• \[\frac{y}{{x + y + t}} > \frac{y}{{x + y + z + t}}\]
• \[\frac{z}{{y + z + t}} > \frac{z}{{x + y + z + t}}\]
• \[\frac{t}{{x + z + t}} > \frac{t}{{x + y + z + t}}\]
\[ \Rightarrow M > \frac{x}{{x + y + z + t}} + \frac{y}{{x + y + z + t}} + \frac{z}{{x + y + z + t}} + \frac{t}{{x + y + z + t}}\]
Þ M > 1
Lại có:
• \[\frac{x}{{x + y + z}} < \frac{{x + t}}{{x + y + z + t}}\]
• \[\frac{y}{{x + y + t}} < \frac{{y + z}}{{x + y + z + t}}\]
• \[\frac{z}{{y + z + t}} < \frac{{z + x}}{{x + y + z + t}}\]
• \[\frac{t}{{x + z + t}} < \frac{{t + y}}{{x + y + z + t}}\]
\[ \Rightarrow M < \frac{{x + t}}{{x + y + z + t}} + \frac{{y + z}}{{x + y + z + t}} + \frac{{z + x}}{{x + y + z + t}} + \frac{{t + y}}{{x + y + z + t}}\]
\[ \Rightarrow M < \frac{{2(x + y + z + t)}}{{x + y + z + t}}\]
Þ M < 2
Do đó, 1 < M < 2
Vậy M không phải là số tự nhiên.
