Chứng minh n3 + 20n chia hết cho 48 với mọi số n là số tự nhiên chẵn.

Chứng minh n³ + 20n chia hết cho 48 với mọi số n là số tự nhiên chẵn.

Giả sử n = 2k (k là số tự nhiên)

n³ + 20n = (2k)³ + 20 . 2k = 8k³ + 40k = 8k(k² + 5)

Ta thấy 8 ⋮ 8 nên 8k(k² + 5) ⋮ 8 (1)

+ Nếu k chẵn thì k ⋮ 2 ⇒ k(k² + 5) ⋮ 2

+ Nếu k lẻ thì k² lẻ ⇒ k² + 5 chẵn ⇒ k(k² + 5) ⋮ 2

Vậy k(k² + 5) ⋮ 2 (2)

+ Nếu k ⋮ 3 thì k(k² + 5) ⋮ 3

+ Nếu k chia 3 dư 1 thì k² + 5 = (3l + 1)² + 5 = 9l² + 6l + 6 ⋮ 3 (với l là số tự nhiên)

+ Nếu k chia 3 dư 2 thì k² + 5 = (3l + 2)² + 5 = 9l² + 12l + 9 ⋮ 3 (với l là số tự nhiên).

Vậy k(k² + 5) ⋮ 3 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 8k(k² + 5) ⋮ 40.

Vậy n³ + 20n chia hết cho 48.