Chứng minh rằng: a) (a + b + c)^2 < = 3(a^2 + b^2 + c^2) b) (a + b)^2 < = 2(a^2 + b^2).
Câu hỏi:
Chứng minh rằng:
a) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
b) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2).
Trả lời:
a) Ta có :
(a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
⇔ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc ≤ 3a2 + 3b2 + 3c2
⇔ – 2a2 – 2b2 – 2c2 + 2ab + 2ac + 2bc ≤ 0
⇔ – (a – b)2 – (b – c)2 – (a – c)2 ≤ 0
Vì (a – b)2 ≥ 0 với mọi a, b
(b – c)2 ≥ 0 với mọi b, c
(a – c)2 ≥ 0 với mọi a, c
Nên – (a – b)2 – (b – c)2 – (a – c)2 ≤ 0 với mọi a, b, c
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c
Vậy (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
b) Ta có: (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
⇔ a2 – 2ab + b2 ≤ 2a2 + 2b2
⇔ – a2 – 2ab – b2 ≤ 0
⇔ – (a + b)2 ≤ 0
Vì (a – b)2 ≥ 0 với mọi a, b
Nên – (a + b)2 ≤ 0 với mọi a, b
Dấu "=" xảy a khi a = – b
Vậy (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2).
