Chứng minh rằng nếu x, y, z là số dương thì (x +y +z) (1/x +1/y +1/z) lớn hơn hoặc bằng 9 .

Câu hỏi:

Chứng minh rằng nếu x, y, z là số dương thì $(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9$ .

Trả lời:

Ta có: $(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = \frac{x}{x} + \frac{x}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{x} + \frac{y}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + \frac{z}{z}$

$= \frac{x}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{x} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + 3 = 3 + (\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) + (\frac{x}{z} + \frac{z}{x}) + (\frac{y}{z} + \frac{z}{y})$

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2 \sqrt{\frac{x}{y} . \frac{y}{x}} = 2$

$\frac{x}{z} + \frac{z}{x} \geq 2 \sqrt{\frac{x}{z} . \frac{z}{x}} = 2$

$\frac{y}{z} + \frac{z}{y} \geq 2 \sqrt{\frac{y}{z} . \frac{z}{y}} = 2$

Suy ra $(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) + (\frac{x}{z} + \frac{z}{x}) + (\frac{y}{z} + \frac{z}{y}) \geq 2 + 2 + 2 = 6$

Do đó $(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 3 + 6 = 9$

Vậy $(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9$ .

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Xác định số hữu tỉ a sao cho x³ + ax² + 5x + 3 chia hết cho x² + 2x + 3.

Xem lời giải »

Câu 2:

Xét sự biến thiên của hàm số y = tan2x trên một chu kì tuần hoàn. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0; \frac{π}{4})$ và $(\frac{π}{4}; \frac{π}{2})$ .

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0; \frac{π}{4})$ và nghịch biến trên khoảng $(\frac{π}{4}; \frac{π}{2})$

C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$ .

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(0; \frac{π}{4})$ và đồng biến trên khoảng $(\frac{π}{4}; \frac{π}{2})$

Xem lời giải »

Câu 3:

Tìm x thỏa mãn phương trình $\sqrt{x^{2} - x - 6} = \sqrt{x - 3} .$

A. x = 2;

B. x = 4;

C. x = 1;

D. x = 3.

Xem lời giải »

Câu 4:

Giải phương trình: x(x + 2)(x² + 2x + 2) + 1 = 0.

Xem lời giải »

Câu 5:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(2; –5); B(–3; 7); C(7; 3). Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 1 - 2 t \\ y = - 2 + 4 t \end{cases}$ sao cho AM ngắn nhất.