Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 0 < = x < = 2020 và log3(3x + 3) + x =
Câu hỏi:
Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 0 ≤ x ≤ 2020 và log3(3x + 3) + x = 2y + 9y?
Trả lời:
ĐKXĐ: 3x + 3 > 0 ⇔ x > −1.
Ta có: log3(3x + 3) + x = 2y + 9y
⇔ log3[3(x + 1)] + x = 2y + 32y
⇔ log33 + log3(x + 1) + x = 2y + 32y
⇔ log3(x + 1) + x + 1 = 2y + 32y
⇔log3(x + 1) + 3log3(x + 1) = 2y + 32y
Xét hàm đặc trưng f(t) = t + 3t ta có f ′(t) = 1 + 3tln3 > 0.
⇒ Hàm số y = f(t) đồng biến trên ℝ, do đó ta có log3(x + 1) = 2y
⇔ x + 1 = 32y.
Theo bài ra ta có: 0 ≤ x ≤ 2020
⇔ 0 ≤ 32y – 1 ≤ 2020
⇔ 1 ≤ 32y ≤ 2020
⇔ 0 ≤ 2y ≤ log32020 ≈ 6,9
Mà y ∈ Z ⇒ y ∈ {0; 1; 2; 3}.
Ứng với mỗi giá trị của y cho 1 giá trị x tương ứng.
Vậy có 4 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:
Câu 1:
Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp S. tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau.
Xem lời giải »
Câu 2:
Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Trong các số: 7; 15; 106; 99, số nào thuộc và số nào không thuộc tập S? Dùng kí hiệu để trả lời.
Xem lời giải »
Câu 3:
Số nghiệm của phương trình \({\log _3}x = {\log _2}\left( {1 + \sqrt x } \right)\) là
Xem lời giải »
Câu 4:
Giải phương trình: \(3{\log _3}\left( {1 + \sqrt x + \sqrt[3]{x}} \right) = 2{\log _2}\left( {\sqrt x } \right).\)
Xem lời giải »
Câu 5:
Cho phương trình \(\left( {2\log _3^2x - {{\log }_3}x - 1} \right)\sqrt {{5^x} - m} = 0\) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?
Xem lời giải »
Câu 6:
Tìm tập nghiệm của phương trình \(\log \left( {{x^2} - x - 6} \right) + x = \log \left( {x + 2} \right) + 4.\)
Xem lời giải »
Câu 7:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 4 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 − 2x − 2y − 2z – 1 = 0. Tìm tọa độ của điểm M trên (S) sao cho d(M, (P)) đạt GTNN.
Xem lời giải »
Câu 8:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z + 6 = 0 và các điểm A(-1; 2; 3), B(3; 0; -1), C(1; 4; 7). Tìm điều kiện của điểm M thuộc (P) sao cho MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất.
Xem lời giải »
