Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình căn bậc ba (m + 3 căn bậc ba
Câu hỏi:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \(\sqrt[3]{{m + 3\sqrt[3]{{m + 3\sin x}}}} = \sin x\) có nghiệm thực?
Trả lời:
Ta có: \(\sqrt[3]{{m + 3\sqrt[3]{{m + 3\sin x}}}} = \sin x\)
⇔ m + \(3\sqrt[3]{{m + 3\sin x}}\)= sin3x
Đặt \(\sqrt[3]{{m + 3\sin x}} = u\) thì m + 3sinx = u3 thì phương trình trên trở thành:
m + 3u = sin3x
Đặt sinx = v thì ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}m + 3v = {u^3}\\m + 3u = {v^3}\end{array} \right.\)
Suy ra: 3(v – u) + (v – u)(v2 + uv + u2 ) = 0
⇔ (v – u)(3 + v2 + uv + u2 ) = 0
Do 3 + v2 + uv + u2 > 0, ∀ u,v nên phương trình trên tương đương u = v
Suy ra: \(\sqrt[3]{{m + 3\sin x}} = \sin x\) hay m = sin3x – 3sinx
Đặt sinx = t (−1 ≤ t ≤ 1) và xét hàm f(t) = t3 − 3t trên [−1;1] có:
f′(t) = 3t2 – 3 ≤ 0, ∀t ∈ [−1;1]
Nên hàm số nghịch biến trên [−1;1]
⇒ −1 = f (1) ≤ f(t) ≤ f(−1) = 2
⇒ −2 ≤ m ≤ 2
Vậy m ∈ {−2; −1; 0; 1; 2}.
