Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f(x^3 + 3x^2 - m) - 3= 0
Câu hỏi:
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số như hình dưới đây:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f(x3 + 3x2 − m) − 3= 0 có nghiệm thuộc đoạn [−1;2]?
A. 23
B. 22
C. 19
D. 24
Trả lời:
Đáp án đúng là: D
Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta thấy:
f(x3 + 3x2 − m) − 3 = 0 ⇔ f(x3 + 3x2 − m) = 3
⇔[x3+3x2−m=−1x3+3x2−m=2⇔[x3+3x2=−1+mx3+3x2=2+m
Suy ra phương trình f(x3 + 3x2 − m) − 3 = 0 có nghiệm thuộc đoạn [−1; 2]
⇔ phương trình x3 + 3x2 = −1 + m có nghiệm thuộc đoạn [−1;2] hoặc phương trình x3 + 3x2 = 2 + m có nghiệm thuộc đoạn [−1;2].
Xét hàm số g(x) = x3 + 3x2 trên đoạn [−1;2].
Suy ra g'(x) = 3x2 + 6x. Ta có g′(x) = 0 ⇔[x=0x=−2
Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biên thiên ta thấy:
• Phương trình x3 + 3x2 = −1 + m có nghiệm thuộc đoạn [−1;2] khi và chỉ khi
0 ≤ −1 + m ≤ 20 ⇔ 1≤ m ≤ 21.
• Phương trình x3 + 3x2 = 2 + m có nghiệm thuộc đoạn [−1;2] khi và chỉ khi
0 ≤ 2 + m ≤ 20 ⇔ −2 ≤ m ≤ 18.
Từ đó suy ra phương trình f(x3 + 3x2 − m) − 3=0 có nghiệm thuộc đoạn [−1;2] khi và chỉ khi −2 ≤ m ≤ 21.
Mà m là số nguyên nên m ∈ {−2; −1; 0. . .; 20; 21}.
Vậy có 24 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.