Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số

Câu hỏi:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=\left|3x^4-4x^3-12x^2+m\right|$ có 5 điểm cực trị?

A. 26

B. 27

C. 16

D. 28

Trả lời:

Đáp án B

Xét hàm số $f\left(x\right)=3x^4-4x^3-12x^2$ ta có:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=12x^3-12x^2-24x \\ f\text{'}\left(x\right)=0\iff 12x^3-12x^2-24x=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=-1\\ x=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

BBT:

Ta có đồ thị $y=f\left(x\right)$ (C ) như sau:

Để $y=\left|3x^4-4x^3-12x^2+m\right|$ có 5 điểm cực trị thì:

TH1: (C) cắt đường thẳng y = -m tại 2 điểm phân biệt khác cực trị

$\iff \left[\begin{array}{c}-m>0\\ -32<-m<-5\end{array}\iff \left[\begin{array}{c}m<0\\ 5<m<32\end{array}\right.\right.$

Mà $m\in Z^{+}\Rightarrow m\in \left\{6;7;\mathrm{...};31\right\}$ 26 giá trị

TH2: (C ) cắt đường thẳng y = -m tại 3 điểm phân biệt, trong đó có 1 cực trị

$\iff \left[\begin{array}{c}-m=0\\ -m=-5\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m=0\left(l\right)\\ m=5\left(tm\right)\end{array}\right.$

Vậy có tất cả 27 giá trị của m thỏa mãn.