Giải phương trình: 4sin^3x + 3cos^3x - 3sinx - sin2x.cosx = 0
Câu hỏi:
Giải phương trình: 4sin3x + 3cos3x – 3sinx – sin2x.cosx = 0 (*).
Trả lời:
4sin3x + 3cos3x – 3sinx – sin2x.cosx = 0
⇔ sinx(4sin2x – 3) – cosx(sin2x – 3cos2x) = 0
⇔ sin(4sin2x – 3) – cosx[sin2x – 3(1 – sin2x)] = 0
⇔ (4sin2x – 3)(sinx – cosx) = 0
⇔ [2(1 – cos2x) – 3](sinx – cosx) = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = - \frac{1}{2} = \cos \frac{{2\pi }}{3}\\\sin x = \cos x\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\\tan x = 1 = \tan \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\) (k ∈ ℤ)
Vậy phương trình có các họ nghiệm là: \(x \in \left\{ { \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ;\,\,\frac{\pi }{4} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
