Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai
Câu hỏi:
Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. \(\overrightarrow {AB} \,.\,\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}{a^2}\);
B. \(\overrightarrow {AC} \,.\,\overrightarrow {CB} = - \frac{1}{2}{a^2}\);
C. \(\overrightarrow {GA} \,.\,\overrightarrow {GB} = \frac{{{a^2}}}{6}\);
D. \(\overrightarrow {AB} \,.\,\overrightarrow {AG} = \frac{1}{2}{a^2}\).
Trả lời:
Đáp án đúng là: C
Dựa vào đáp án ta có các nhận xét sau:
Xác định được góc \[\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} } \right)\] là \[\widehat A\] nên \[\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} } \right) = 60^\circ \]
Do đó \(\overrightarrow {AB} \,.\,\overrightarrow {AC} = AB\,.\,AC\,.\,\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} } \right) = a\,.\,a\,.\,\cos 60^\circ = \frac{1}{2}{a^2}\) nên A đúng
Xác định được góc \[\left( {\overrightarrow {AC} ,\;\overrightarrow {CB} } \right)\] là góc ngoài của \[\widehat C\] nên \[\left( {\overrightarrow {AC} ,\;\overrightarrow {CB} } \right) = 120^\circ \]
Do đó \(\overrightarrow {AC} \,.\,\overrightarrow {CB} = AC\,.\,CB\,.\,\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\;\overrightarrow {CB} } \right) = a\,.\,a\,.\,\cos 120^\circ = - \frac{1}{2}{a^2}\) nên B đúng
Xác định được góc \[\left( {\overrightarrow {GA} ,\;\overrightarrow {GB} } \right)\] là \[\widehat {AGB}\] nên \[\left( {\overrightarrow {GA} ,\;\overrightarrow {GB} } \right) = 120^\circ \]
Do đó \(\overrightarrow {GA} \,.\,\overrightarrow {GB} = GA\,.\,GB\,.\,\cos \left( {\overrightarrow {GA} ,\;\overrightarrow {GB} } \right) = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\,.\,\frac{a}{{\sqrt 3 }}\,.\,\cos 120^\circ = - \frac{{{a^2}}}{6}\) nên C sai
Xác định được góc \[\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AG} } \right)\] là góc ngoài của \[\widehat {GAB}\] nên \[\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AG} } \right) = 30^\circ \]
Do đó \(\overrightarrow {AB} \,.\,\overrightarrow {AG} = AB\,.\,AG\,.\,\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AG} } \right) = a\,.\,\frac{a}{{\sqrt 3 }}\,.\,\cos 30^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\) nên D đúng
