hình chữ nhật ABCD có AB = a và AD = a căn bậc hai 2. Gọi K là trung điểm của
Câu hỏi:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và \(AD = a\sqrt 2 \). Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Tính \(\overrightarrow {BK} \cdot \overrightarrow {AC} .\)
A. \(\overrightarrow {BK} \cdot \overrightarrow {AC} = 0.\)
B. \(\overrightarrow {BK} \cdot \overrightarrow {AC} = - {a^2}\sqrt 2 .\)
C. \(\overrightarrow {BK} \cdot \overrightarrow {AC} = {a^2}\sqrt 2 .\)
D. \(\overrightarrow {BK} \cdot \overrightarrow {AC} = 2{a^2}.\)
Trả lời:
Đáp án đúng là: A
Ta có \(AC = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {BK} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AK} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} }\\{\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} }\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BK} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\)
\( = \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AD} \)
\( = - {a^2} + 0 + 0 + \frac{1}{2}{(a\sqrt 2 )^2} = 0\)
