Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình: 2(x^2 + 2x)^2 - (4m - 1)(x^2 + 2x)

Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình: 2(x² + 2x)² – (4m – 1)(x² + 2x) + 2m – 1 = 0 có đúng 3 nghiệm thuộc [−3; 0].

Ta có: ∆ = (4m – 1)² – 4.2.(2m – 1) = (4m – 3)²

2(x² + 2x)² – (4m – 1)(x² + 2x) + 2m – 1 = 0

⇔ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2x = \frac{1}{2}\left( 1 \right)}\\{{x^2} + 2x = 2m - 1\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$

(1) ⇔ ${x^2} + 2x - \frac{1}{2} = 0$ ⇔ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} \notin \left[ { - 3;0} \right]}\\{x = \frac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2} \in \left[ { - 3;0} \right]}\end{array}} \right.$

Do đó phương trình (1) chỉ có 1 nghiệm thuộc [−3; 0].

Để phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc đoạn [−3; 0] thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−3; 0] và hai nghiệm này phải khác $\frac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2}.$

(2) ⇔ (x + 1)² = 2m.

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác $\frac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2}$ và thuộc đoạn [−3; 0]

⇔ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2m > 0}\\{{{\left( {\frac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2} + 1} \right)}^2} \ne 2m}\\{ - 3 \le - 1 + \sqrt {2m} \le 0}\\{ - 3 \le - 1 - \sqrt {2m} \le 0}\end{array}} \right.$ ⇔ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 0}\\{m \ne \frac{3}{4}}\\{m \le \frac{1}{2}}\\{m \le 2}\end{array}} \right.$

Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn điều kiện của đề bài.