Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số: y = x^3 − mx^2 − (m − 6)x + 1 đồng biến trên (0; 4).

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số: 

y = x³ − mx² − (m − 6)x + 1 đồng biến trên (0; 4).

Ta có y^’ = 3x² – 2mx – (m – 6)

Để hàm số đồng biến trên (0; 4)

Û y’ ≥ 0 "x Î (0; 4) và y′ = 0 tại một số giá trị hữu hạn.

3x² − 2mx − (m − 6) ≥ 0 ∀x ∈ (0; 4)

⇔ 3x² + 6 ≥ m(2x + 1)

Với mọi x ∈ (0; 4) ta có 2x + 1 > 0 nên

$f\left(x\right)=\frac{3x^2+6}{2x+1}\ge m\forall x\in (0;4)$

⇔ m ≤ min_{(0; 4)} của f(x)

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{3x^2+6}{2x+1}$trên (0; 4) ta có:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{6x^2+6x-12}{{\left(2x+1\right)}^2}=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=1\in (0;4)\\ x=-2\notin (0;4)\end{array}\right.$

Xét bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min_{(0; 4)} của f(x) = f(1) = 3 Û m ≤ 3

Khi m = 3 ta có : y′ = 3x² − 6x + 3 = 3(x − 1)² ≥ 0 ∀x ∈ (0;4)

Vậy với m ≤ 3 thì hàm số đồng biến trên (0; 4).