Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4^x - 3.2^(x + 1) + m = 0 có hai

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4^x – 3.2^{x + 1} + m = 0 có hai nghiệm thực x₁; x₂ thỏa mãn x₁ + x₂ < 2.

4^x – 3.2^{x + 1} + m = 0 ⇔ \({\left( {{2^x}} \right)^2} - {3.2.2^x} + m = 0\)

⇔ \({2^{2x}} - {6.2^x} + m = 0\) (1)

Đặt t = 2^x (t > 0). Khi đó: (1) ⇔ t² – 6t + m = 0 (2)

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x₁; x₂ thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm t dương phân biệt ⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta ' > 0}\\{{t_1} + {t_2} > 0}\\{{t_1}{t_2} > 0}\end{array}} \right.\) ⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9 - m > 0}\\{3 > 0}\\{m > 0}\end{array}} \right.\) ⇔ 0 < m < 9.

Khi đó phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x₁ = log₂t₁; x₂ = log₂t₂.

⇒ x₁ + x₂ < 2 ⇔ log₂t₁ + log₂t₂ < 2

⇔ log₂(t₁t₂) < 2

⇔ log₂m < 2

⇔ m < 2² ⇔ m < 4.

Kết hợp với ĐK, suy ra 0 < m < 4.

Vậy m ∈ {1; 2; 3}.