Tìm x, y ∈ ℤ thỏa phương trình x(x2 + x + 1) = 4y(y + 1).
Câu hỏi:
Tìm x, y ∈ ℤ thỏa phương trình x(x2 + x + 1) = 4y(y + 1).
Trả lời:
Ta có x(x2 + x + 1) = 4y(y + 1).
⇔ x3 + x2 + x = 4y2 + 4y.
⇔ (x3 + x2) + x + 1 = 4y2 + 4y + 1.
⇔ x2(x + 1) + x + 1 = (2y + 1)2.
⇔ (x2 + 1)(x + 1) = (2y + 1)2 (*)
Đặt (x2 + 1; x + 1) = d.
⇒ (x + 1)(x – 1) – (x2 + 1) ⋮ d.
⇒ x2 – 1 – x2 – 1 ⋮ d.
⇒ –2 ⋮ d.
Mà vế phải của phương trình (*) là số lẻ nên chỉ xảy ra trường hợp d = ±1.
Do đó (x2 + 1; x + 1) = 1.
Vì vậy x2 + 1 và x + 1 là số chính phương.
Đặt x2 + 1 = a2 (a ∈ ℤ).
⇔ (a – x)(a + x) = 1.
⇔ x = 0.
Thế x = 0 vào (*), ta được: (2y + 1)2 = 1.
Thử lại, ta thấy (x; y) ∈ {(0; 0), (0; –1)} thỏa mãn phương trình ban đầu.
Vậy (x; y) ∈ {(0; 0), (0; –1)}.
Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:
Câu 1:
Một đơn vị bộ đội dự trữ gạo đủ cho 150 người ăn trong 20 ngày. Nhưng sau đó lại có thêm một số bộ đội chuyển đến nên số ngày ăn hết số gạo dự trữ giảm đi 8 ngày. Hỏi có bao nhiêu bộ đội mới chuyển đến?
Xem lời giải »
Câu 2:
Mùng 1 tháng 1 năm 2015 là thứ 5. Hỏi ngày mùng 1 tháng 1 năm 2016 là thứ mấy?
Xem lời giải »
Câu 3:
Số bị chia hơn số chia 60 đơn vị. Nếu giảm số chia đi một nửa thì thương mới là 32. Tìm số bị chia và số chia lúc đầu.
Xem lời giải »
Câu 4:
Tuổi của An trước đây 3 năm bằng tuổi của An sau 3 năm nữa. Tính tuổi của An hiện nay.
Xem lời giải »
Câu 5:
Ba mảnh đất hình chữ nhật có cùng chiều dài và có tổng diện tích 92 ha. Tính diện tích mỗi mảnh đất biết chiều rộng của mảnh thứ nhất và mảnh thứ hai tỉ lệ với 2 và 3; chiều rộng mảnh thứ hai và mảnh thứ ba tỉ lệ với 5 và 7.
Xem lời giải »
Câu 7:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B = 12x – 8y – 4x2 – y2 + 1.
Xem lời giải »
Câu 8:
Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A.
Xem lời giải »
