Tổng các nghiệm thuộc khoảng (0;2018) của phương trình: sin^4 (x/2) + cos^4
Câu hỏi:
Tổng các nghiệm thuộc khoảng (0;2018) của phương trình: \({\sin ^4}\frac{x}{2} + {\cos ^4}\frac{x}{2} = 1 - 2\sin x\) là?
Trả lời:
\({\sin ^4}\frac{x}{2} + {\cos ^4}\frac{x}{2} = 1 - 2\sin x\)
⇔ \({\left( {{{\sin }^2}\frac{x}{2} + {{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)^2} - 2{\sin ^2}\frac{x}{2}.{\cos ^2}\frac{x}{2} = 1 - 2\sin x\)
⇔ \(1 - 2{\sin ^2}\frac{x}{2}.{\cos ^2}\frac{x}{2} = 1 - 2\sin x\)
⇔ \(\frac{1}{2}{\sin ^2}x - 2\sin x = 0\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin x = 4\left( L \right)\end{array} \right.\)(phương trình sinx = 4 vô nghiệm vì –1 ≤ sinx ≤ 1)
Với sinx = 0, suy ra: x = kπ (k ∈ ℤ)
0 < x < 2018 ⇔ 0 < kπ < 2018 ⇔ 0 < k < \(\frac{{2018}}{\pi }\)
⇔ k ∈ {1;2;3;…;642}
Vậy tổng các nghiệm cần tìm là:
S = π + 2π + 3π + … +642π = π(1 + 2 + 3 + … + 642)
= \(\frac{{642.\left( {642 + 1} \right)}}{2}\pi = 206403\pi \).
