Trong khôn gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0

Trong khôn gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; –4). Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tìm phương trình tham số của đường thẳng OH trong các phương án sau:

A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 6t\\y = - 4t\\z = - 3t\end{array} \right.$

B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 6t\\y = 2 + 4t\\z = - 3t\end{array} \right.$

C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 6t\\y = 4t\\z = - 3t\end{array} \right.$

D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 6t\\y = 4t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0}\\{[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AH} = 0}\end{array}} \right.$

Ta giả sử $H(x,y,z)$, ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {BC} = (0; - 3; - 4)\\\overrightarrow {AC} = ( - 2;0; - 4)\\\overrightarrow {AH} = (x - 2;y;z)\\\overrightarrow {BH} = (x;y - 3;z)\\\overrightarrow {AB} = ( - 2;3;0)\end{array}$

Vì $\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow 3y + 4z = 0$                     (1)

Vì $\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow x + 2z = 0$                   (2)

Ta có: $[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 12; - 8;6)$

Suy ra $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AH} = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 12(x - 2) - 8y + 6z = 0\\ \Leftrightarrow - 6x - 4y + 3z + 12 = 0\end{array}$          (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3y + 4z = 0}\\{x + 2z = 0}\\{ - 6x - 4y + 3z + 12 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{72}}{{61}}}\\{y = \frac{{48}}{{61}}}\\{z = \frac{{ - 36}}{{61}}}\end{array}} \right.$

Suy ra $H\left( {\frac{{72}}{{61}};\frac{{48}}{{61}};\frac{{ - 36}}{{61}}} \right)$

Do đó $\overrightarrow {OH} = \left( {\frac{{72}}{{61}};\frac{{48}}{{61}};\frac{{ - 36}}{{61}}} \right)$ là vecto chỉ phương của OH

Chọn $\vec u = (6,4, - 3)$ là VTCP của OH và OH qua O(0; 0; 0) nên phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 6t\\y = 4t\\z = - 3t\end{array} \right.$

Vậy đáp án cần chọn là C.