Cho biết tan alpha = 2/3. Tính giá trị biểu thức M = (sin^3 alpha + 3cos^3 alpha

Cho biết $\tan \alpha = \frac{2}{3}$. Tính giá trị biểu thức $M = \frac{{{{\sin }^3}\alpha + 3c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha - 25co{{\rm{s}}^3}\alpha }}$.

A. $\frac{{89}}{{891}}$

B. $\frac{{89}}{{159}}$

C. $\frac{{89}}{{459}}$

D. $- \frac{{89}}{{459}}$.

Đáp án đúng là: D

Vì $\tan \alpha = \frac{2}{3}$ nên cosα ≠ 0

Chia cả từ và mẫu của ${\rm{M}}$ cho cos³α ta được:

$M = \frac{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha - 25{{\cos }^3}\alpha }} = \frac{{\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + 3\frac{{{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}{{27\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} - 25\frac{{{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}} = \frac{{{{\tan }^3}\alpha + 3}}{{27{{\tan }^3}\alpha - 25}}$

Thay $\tan \alpha = \frac{2}{3}$ ta được $M = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3} + 3}}{{27 \cdot {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3} - 25}} = \frac{{ - 89}}{{459}}$

Vậy đáp án cần chọn là D.