Số nghiệm thuộc đoạn [-pi; 2pi] của phương trình 2f(sinx) + 3 = 0 là: A. 4 B. 6 C. 3
Câu hỏi:
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
![Số nghiệm thuộc đoạn [-pi; 2pi] của phương trình 2f(sinx) + 3 = 0 là: A. 4 B. 6 C. 3 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/09/blobid12-1695110777.png)
Số nghiệm thuộc đoạn [–π; 2π] của phương trình 2f(sinx) + 3 = 0 là:
A. 4
B. 6
C. 3
D. 8.
Trả lời:
Đáp án đúng là: B
Phương trình \(2f(\sin x) + 3 = 0 \Leftrightarrow f(\sin x) = - \frac{3}{2}\quad (*)\) có nghiệm trên [–π; 2π]
⇔ Đường thẳng \(y = - \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f(\sin x)\) tại các điểm trên [–π; 2π]
Đặt \(\sin x = t \Rightarrow x \in [ - \pi ;2\pi ] \Rightarrow t \in [ - 1;1]\)
Ta có bảng biến thiên:
![Số nghiệm thuộc đoạn [-pi; 2pi] của phương trình 2f(sinx) + 3 = 0 là: A. 4 B. 6 C. 3 (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/09/blobid13-1695110823.png)
Dựa vào bảng biến thiên ta có: đường thẳng \(y = - \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số y = f(t) tại hai điểm phân biệt
Ta có \((*) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x = {t_1} \in (0;1)}\\{\sin x = {t_2} \in ( - 1;0)}\end{array}} \right.\)
![Số nghiệm thuộc đoạn [-pi; 2pi] của phương trình 2f(sinx) + 3 = 0 là: A. 4 B. 6 C. 3 (ảnh 3)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/09/blobid14-1695110834.png)
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
+) Đường thẳng y = t1 cắt đồ thị hàm số y = sinx tại hai điểm phân biệt trong [–π; 2π]
+) Đường thẳng y = t1 cắt đồ thị hàm số y = sinx tại bốn điểm phân biệt trong [–π; 2π]
Như vậy đường thẳng \(y = - \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f(\sin x)\) tại 6 điểm phân biệt trên [–π; 2π]
Suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt
Vậy đáp án cần chọn là B.
