Trong không gian với hệ tọa Oxyz, cho vectơ a = (1; -2; 4), vecto b = (x0; y0; z0)

Trong không gian với hệ tọa Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;4} \right),\overrightarrow b = \left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow a \). Biết vectơ \(\overrightarrow b \) tạo với tia Oy một góc nhón và \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {21} \). Giá trị của tổng x₀ + y₀ + z₀ bằng:

A. –3

B. 6

C. –6

D. 3.

Đáp án đúng là: A

Do \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng phương và nên \(\overrightarrow b = k\overrightarrow a \) (k ≠ 0) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = k\\{y_0} = - 2k\\{z_0} = 4k\end{array} \right.\)

Suy ra: \(\frac{{{x_0}}}{1} = \frac{{{y_0}}}{{ - 2}} = \frac{{{z_0}}}{4} = \frac{{{x_0} + {y_0} + {z_0}}}{{1 - 2 + 4}} = \frac{{{x_0} + {y_0} + {z_0}}}{3}\)

Do đó: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{1}{3}\left( {{x_0} + {y_0} + {z_0}} \right)\\{y_0} = - \frac{2}{3}\left( {{x_0} + {y_0} + {z_0}} \right)\\{z_0} = \frac{4}{3}\left( {{x_0} + {y_0} + {z_0}} \right)\end{array} \right.\)

Theo giả thiết vectơ \(\overrightarrow b \) tạo với tia Oy một góc nhọn nên \(\overrightarrow b .\overrightarrow j > 0;\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\)

Suy ra y₀ > 0

Mà \({y_0} = - \frac{2}{3}\left( {{x_0} + {y_0} + {z_0}} \right)\) nên x₀ + y₀ + z₀ < 0

Lại có \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {21} \)

Suy ra \(\sqrt {x_0^2 + y_0^2 + z_0^2} = \sqrt {\frac{{21}}{9}{{\left( {{x_0} + {y_0} + {z_0}} \right)}^2}} \Rightarrow {\left( {{x_0} + {y_0} + {z_0}} \right)^2} = 9\)

Mà x₀ + y₀ + z₀ < 0 nên x₀ + y₀ + z₀ = –3

Vậy ta chọn đáp án A.