ứng minh đẳng thức sau: (x + y + z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3(x + y)(y + z)
Câu hỏi:
Chứng minh đẳng thức sau: (x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 + 3(x + y)(y + z)(z + x).
Trả lời:
Ta có:
x3 + y3 + z3 + 3(x + y)(y + z)(z + x)
= x3 + y3 + z3 + (3xy + 3xz + 3y2 + 3yz)(z + x)
= x3 + y3 + z3 + 3xyz + 3x2y + 3xz2 + 3x2z + 3y2z + 3y2x + 3yz2 + 3xyz
= x3 + y3 + z3 + 3x2y + 3xz2 + 3x2z + 3y2z + 3y2x + 3yz2 + 6xyz
= x3 + 3x2y + 3y2x + y3 + 3x2z + 6xyz + 3y2z + 3xz2 + 3yz2 + z3
= (x + y)3 + 3z(x2 + 2xy + y2) + 3z2(x + y) + z3
= (x + y)3 + 3z(x + y)2 + 3z2(x + y) + z3
= (x + y + z)3
Vậy (x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 + 3(x + y)(y + z)(z + x).
