Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = x^3 + 3x^2 + m^2x + m có hai điểm

Câu hỏi:

Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2+m^{2}x+m$ có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng: $y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$

A. m = 0  

B. m = 1 

C. m = -1

D. Không tồn tại

Trả lời:

Chọn D

$y\text{'}=3x^2+6x+m^2.$Hàm số có hai điểm cực trị => y’=0 có hai nghiệm phân biệt <=> $\Delta \text{'}=3^2-3.m^2>0$ <=> $-\sqrt{3} < m < \sqrt{3}$

Chia y cho y’ ta được:

Giả sử $x_1, x_2$ là hai nghiệm phân biệt của y’=0.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng

(d) có vectơ pháp tuyến là

Vì hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua (Δ) nên (d) ⊥ (Δ)

Thử lại khi m=0 ta có: $y=x^3+3x^2;y\text{'}=3x^2+6x;y\text{'}\text{'}=6x+6$

y''(0) = 6 > 0; y''(-2) = -6 < 0

Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là O(0;0), A(-2;4)

Trung điểm của OA là I(-1;2).

Ta thấy I(-1,2) không thuộc đường thẳng (Δ) . Vậy không tồn tại m.