W1llyK!m#5991

a) Ta có AM và AN là hai tiếp tuyến cắt nhau

Nên AM = AN

Lại có: ABC là cát tuyến của (O)

Nên AM² = AN² = AB.AC

b) Dễ thấy OA vuông góc với MN tại trung điểm MN

⇒ OA vuông góc với MN tại F

Ta có $\widehat {OMA} = \widehat {ONA} = \widehat {OEA} =$ 90°.

⇒ M, N, E đều thuộc đường tròn đường kính OA

⇒ EMAB nội tiếp

⇒ $\widehat {EMN} = \widehat {EAN}$(1)

Gọi Nt là tia đối của tia AN

Ta có (vì Nt là tiếp tuyến) (2)

Từ (1) và (2)

⇒ $\widehat {EAN} = \widehat {INt}$

⇒ IN//AE hay IN//AB

c) Gọi K là giao điểm của BC với MN

Ta có tứ giác OFKE nội tiếp trong đường tròn đường kính OK

Xét ∆AOE và ∆AFK có:

Chung $\widehat A$

$\widehat {AFK} = \widehat {AEO} = 90^\circ$

⇒ ∆AOE ∽ ∆AKF (g.g)

⇒ $\frac{{AO}}{{AK}} = \frac{{AE}}{{AF}}$

Suy ra: AK.AE = AF.AO

Mà AF.AO = AM² = AB.AC

Suy ra: AK.AE = AB.AC không đổi

Vì AK không đổi nên K cố định

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF là trung điểm của OK cố định.