Chứng minh rằng 4n^3 + 9n^2 - 19n - 30 chia hết cho 6 (n thuộc Z)
Câu hỏi:
Chứng minh rằng 4n3 + 9n2 – 19n – 30 chia hết cho 6 (n ∈ ℤ).
Trả lời:
Đặt A = 4n3 + 9n2 – 19n – 30
+) Nếu n là số lẻ ⇒ 4n3 chia hết cho 2
(9n2 – 19n) chia hết cho 2
30 chia hết cho 2
⇒ A chia hết cho 2
+) Nếu n là số chẵn ⇒ 4n3 chia hết cho 2
(9n2 – 19n) chia hết cho 2
30 chia hết cho 2
⇒ A chia hết cho 2
Vậy A luôn luôn chia hết cho 2 với mọi n (1)
TH1: n chia hết cho 3
⇒ 4n3 chia hết cho 3
⇒ 9n2 chia hết cho 3
⇒ 19n chia hết cho 3
Mà 30 chia hết cho 3
⇒ A chia hết cho 3
TH2: n chia 3 dư 1
⇒ 4n3 ≡ 4.13 ≡ 4 ≡ 1 (mod 3)
9n² chia hết cho 3
19n ≡ 19.1 ≡ 1 (mod 3)
30 chia hết cho 3
⇒ A ≡ 1 + 0 – 1 – 0 = 0 (mod 3)
⇒ A chia hết cho 3
TH3: n chia 3 dư 2
⇒ 4n3 ≡ 4.23 ≡ 4 . 8 ≡ 32 ≡ 2 (mod 3)
9n2 chia hết cho 3
19n ≡ 19.2 ≡ 38 ≡ 2 (mod 3)
30 chia hết cho 3
⇒ A ≡ 2 + 0 – 2 – 0 ≡ 0 (mod 3)
⇒ A chia hết cho 3
⇒ A luôn luôn chia hết cho 3 với mọi n (2)
Từ (1), (2) ⇒ A chia hết cho 3.2 = 6 với mọi n (đpcm)
