cho a, b, c > 0 và a.b.c = 1. chứng minh rằng 1/a^2.(b c) 1/b^2.(c a) 1/c^2.(a b)>=3/2
Câu hỏi:
Cho a, b, c > 0 và a.b.c = 1. Chứng minh rằng
.1a2.(b+c)+1b2.(c+a)+1c2.(a+b)≥32
Trả lời:
Đặt x=1a; y=1b; z=1c , với x, y, z > 0.
Suy ra xyz=1a.1b.1c=1 .
Ta có 1a2.(b+c)=x21y+1z=x2yzy+z=xy+z .
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành: xy+z+yz+x+zx+y≥32 .
⇔(xy+z+1)+(yz+x+1)+(zx+y+1)≥92.
⇔x+y+zy+z+y+z+xz+x+z+x+yx+y≥92.
⇔(x+y+z)(1y+z+1z+x+1x+y)≥92 (*)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số x, y, z > 0, ta được:
(x+y+z)(1y+z+1z+x+1x+y)≥9>92.
Do đó (*) luôn đúng.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z ⇔ a = b = c.
Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh.
