Cho các số thực x, y thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức là

Câu hỏi:

Cho các số thực x, y thỏa mãn ${(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + 2 x y \leq 32$ . Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức $A = x^{3} + y^{3} + 3 (x y - 1) (x + y - 2)$ là:

A. $m = 16$

B. $m = 0$

C. $m = \frac{17 - 5 \sqrt{5}}{4}$

D. $m = 398$

Trả lời:

Lời giải:

${(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + 2 x y \leq 32$ $\Leftrightarrow {(x + y)}^{2} - 8 (x + y) \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq x + y \leq 8$

$A = {(x + y)}^{3} - 3 (x + y) - 6 x y + 6 \geq {(x + y)}^{3} - \frac{3}{2} {(x + y)}^{2} - 3 (x + y) + 6$

(do ${(x + y)}^{2} \geq 4 x y \Rightarrow x y \leq \frac{{(x + y)}^{2}}{4} \Rightarrow - 6 x y \geq - \frac{3}{2} {(x + y)}^{2}$ )

Xét hàm số $f (t) = t^{3} - \frac{3}{2} t^{2} - 3 t + 6$ trên đoạn $[0; 8]$ ta có:

$f' (t) = 3 t^{2} - 3 t - 3, f' (t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ (giá trị $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} \notin [0; 8]$ nên loại)

Thực hiện tính toán ta có:

$f (0) = 6, f (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}) = \frac{17 - 5 \sqrt{5}}{4}, f (8) = 398$

$\Rightarrow A \geq f (t) \geq \frac{17 - 5 \sqrt{5}}{4} \Rightarrow A \geq \frac{17 - 5 \sqrt{5}}{4}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là $\frac{17 - 5 \sqrt{5}}{4}$ xảy ra khi $\{\begin{matrix} x + y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \\ x = y \end{matrix} \Leftrightarrow x = y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Đáp án cần chọn là: C

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình dưới. Gọi a, A lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $f (x + 1)$ trên đoạn $[- 1; 0]$ . Giá trị $a + A$ bằng:

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[- 1; 4]$ và có đồ thị như hình vẽ:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn $[- 10; 10]$ để bất phương trình $|f (x) + m| < 2 m$ đúng với mọi x thuộc đoạn $[- 1; 4]$ ?

Xem lời giải »

Câu 3:

Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = |x - 3| \sqrt{x + 1}$ trên đoạn $[0; 4]$ . Tính $M + 2 N$

Xem lời giải »

Câu 4:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{5 - x}$ trên đoạn $[1; 5]$

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện $x^{2} + y^{2} + x y + 4 = 4 y + 3 x$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = 3 (x^{3} - y^{3}) + 20 x^{2} + 2 x y + 5 y^{2} + 39 x$

Xem lời giải »

Câu 6:

Có bao nhiêu số nguyên $m \in [- 5; 5]$ để $\min_{[1; 3]} |x^{3} - 3 x^{2} + m| \geq 2$

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho hàm số $f (x) = |3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + m|$ . Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[- 1; 3]$ . Tổng các giá trị của tham số thực m để $M = \frac{71}{2}$

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

Cho các số thực x, y thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức là

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: